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%%文档的题目、作者与日期
\author{王立庆（2021级数学与应用数学1班）}
\title{随机分析入门教案}
%\date{\vspace{-3ex}}
\renewcommand{\today}{\number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日}
%\date{2020 年 2 月 28 日}

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\begin{document}

\maketitle

\setcounter{tocdepth}{1}
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\tableofcontents

\thispagestyle{empty}

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\clearpage
\setcounter{page}{1} 
\section{第1章：概率论基础知识 }

\begin{enumerate}
\item  随机变量 $X$ 的分布，指的是什么含义？什么是分布函数？
\item  画出二项分布的分布律与分布函数的图像。
\item  画出正态分布的密度函数和分布函数的图像。
\item  按定义计算二项分布与正态分布的期望与方差。
\item  投掷一个硬币2次，正面记为1，反面记为0. 设结果为 $(X_1,X_2)$. 求这个随机向量的分布函数。 
\item  两个随机变量相互独立的含义是什么？不相关的含义是什么？
\item  证明两个随机变量如独立则一定不相关。举例说明不相关的两个随机变量不一定独立。
\item  什么是随机过程？什么是随机过程的样本路径？
\item  什么是时间序列？写出一阶和二阶自回归移动平均模型。
\item  什么是随机过程的有限维分布？什么是高斯过程？
\item  什么是平稳的高斯过程？
\item  画出齐次泊松过程的一些样本路径。计算齐次泊松过程的均值函数与协方差函数。
\item  什么是布朗运动？画出布朗运动的一些样本路径。计算布朗运动的分布、均值函数与协方差函数。
\item  为什么说布朗运动是一种具有 0.5-自相似性质的随机过程？
\item  什么是几何布朗运动？计算几何布朗运动的均值函数与协方差函数。
\item  使用中心极限定理模拟布朗运动的样本路径。
\item  什么是给定事件下的条件概率、条件分布函数与条件期望？
\item  设 $Y$ 是离散型随机变量。解释条件期望 $E(X|Y)$ 的含义。
\item  证明：如果 $X,Y$ 独立，那么有 $E(X|Y)=E(X)$.
\item  解释由事件 $A$ 生成的 $\sigma$-域。解释由离散型随机变量 $Y$ 生成的 $\sigma$-域。
\item  什么是一维 Borel $\sigma$-域？
\item  什么是由随机变量 $Y$ 生成的 $\sigma$-域？什么是由随机向量 $(Y_1,Y_2)$ 生成的 $\sigma$-域？
\item  设 $\mathcal{F}$ 是一个 $\sigma$-域。解释条件期望 $E(X|\mathcal{F})$ 的含义。
\item  设 $Y$ 是一般的随机变量。解释条件期望 $E(X|Y)$ 的含义。
\item  解释条件期望运算是随机变量空间里的某种投影运算。
\item  解释一个随机过程是怎样产生一个单调递增的事件域的序列的。
\item  什么是鞅过程？说明均值为零的独立随机变量序列的部分和是一个鞅过程。
\item  说明布朗运动是一个鞅过程。
\item  什么是鞅变换？
\item  说明鞅过程是公平游戏的一个模型。


\end{enumerate}

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\section{第2章：随机积分 }

\begin{enumerate}
\item  写出 Riemann 积分的定义。按定义计算 $$\int_0^1 tdt.$$ 
\item  写出 Riemann-Stieltjes 积分的定义。举例说明一般的随机变量的期望的计算公式
$$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} tdF_X(t).$$
\item  设 $f$ 是连续函数，$g$ 是有界变差函数，则下述 Riemann-Stieltjes 积分存在，
$$\int_0^1 f(t)dg(t).$$
\item  设 $f$ 是可微函数且导数有界，设 $B$ 是标准布朗运动，则下述 Riemann-Stieltjes 积分存在，
$$\int_0^1 f(t)dB_t(\omega).$$
\item  设 $B$ 是标准布朗运动。解释下述等式的含义
$$\int_0^t B_sdB_s = \frac{1}{2} (B_t^2-t).$$
\item  设 $C$ 是一个简单过程，设 $B$ 是标准布朗运动。解释下述 Ito 积分的含义
$$I_t(C)=\int_0^t C_sdB_s.$$
\item  计算上述定义的 Ito 积分的数学期望，
$$E \int_0^t C_sdB_s.$$
\item  设 $C$ 是一个简单过程，设 $B$ 是标准布朗运动。则有下述等矩性质，
$$E\left( \int_0^t C_sdB_s \right)^2 = \int_0^t EC_s^2ds.$$
\item  设 $C^{(1)}$ 和 $C^{(2)}$ 是两个简单过程，证明 Ito 积分具有下述线性性质，
$$\int_0^t \left[ k_1C^{(1)}_s + k_2C^{(2)}_s \right] dB_s 
= k_1\int_0^t C^{(1)}_s dB_s + k_2 \int_0^tC^{(2)}_s  dB_s. $$
\item  设 $f$ 是二阶连续可微函数。解释下述 Ito 公式，
$$ f(B_t) - f(B_s) = \int_s^t f'(B_x)dB_x + \frac{1}{2} \int_s^t f''(B_x)dx,\,\,\, s<t. $$
\item  使用 Ito 公式，解释下述等式成立，
$$B_t^2 - B_s^2 = 2\int_s^t B_sdB_s + \int_s^t dx. $$

\end{enumerate}

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\section{第3章：随机微分方程 }

\begin{enumerate}
\item  设 $a,b$ 是两个连续函数，求解下述微分方程 $$dx = a(t)b(x)dt.$$
\item  解释下述积分方程等价于一个微分方程的初值问题，$$x(t)=x(0)+\int_0^t a(s,x(s))ds.$$
\item  设 $Y$ 是一个随机变量。解释下述随机微分方程的含义，$$dX_t = a(t,X_t)dt, \,\,\, X_0(\omega)=Y(\omega). $$
\item  解释下述随机微分方程的含义，$$dX_t = a(t,X_t)dt + b(t,X_t)dB_t, \,\,\, X_0(\omega)=Y(\omega). $$
\item  使用 Ito 公式求解下述 Ito 随机微分方程，
$$X_t = X_0 + c\int_0^t X_s ds + \sigma \int_0^t X_sdB_s, \,\,\, t\in [0,T]. $$
\item  求解下述 Ito 随机微分方程，%$$dX_t = cX_tdt + \sigma dB_t.$$
$$X_t = X_0 + c\int_0^t X_s ds + \sigma \int_0^t dB_s, \,\,\, t\in [0,T]. $$
\item  设 $B^{(1)}$ 和 $B^{(2)}$ 是两个相互独立的标准布朗运动，则下述定义的 $\tilde{B}$ 也是一个标准布朗运动，
$$\tilde{B}_t =  \sigma_1^2+\sigma_2^2)^{-1/2} \left[\sigma_1B_t^{(1)} + \sigma_2 B_t^{(2)} \right].$$
\item  求解下述随机微分方程，
$$X_t = X_0 + c\int_0^t X_sds + \sigma_1 \int_0^t X_sdB_s^{(1)} + \sigma_2 \int_0^t X_sdB_s^{(2)}. $$
\item  使用 Euler 方法和 Milstein 方法求下述随机微分方程的数值解，
$$X_t = X_0 + \int_0^t a(X_s) ds + \int_0^t b(X_s)dB_s, \,\,\, t\in [0,T]. $$


\end{enumerate}


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\section{第4章：随机分析在金融中的应用 }

\begin{enumerate}
\item  什么是风险资产？解释风险资产的下述模型，
$$X_t = f(t,B_t) = X_0 \exp\left[ \left(c-\frac{1}{2}\sigma^2\right) t +\sigma B_t \right].$$
\item  什么是相对回报率？什么是波动率？解释下述等式的含义，
$$\frac{X_{t+dt} - X_t}{X_t} = cdt + \sigma dB_t. $$

\item  什么是无风险收益？解释无风险资产的下述模型，
$$\beta_t =\beta_0e^{rt}. $$
\item  什么是投资组合？什么是交易策略？解释下述表达式的含义，
$$V_t = a_tX_t + b_t\beta_t, \,\,\, t\in [0,T]. $$
\item  什么是自融资条件？解释自融资条件可以理解为下述等式，
$$dV_t = a_tdX_t + b_t d\beta_t. $$

\item  什么是欧式看涨期权？什么是敲定价格？解释下述称为未定权益的表达式的含义，
$$(X_T-K)^+ = \max(0, X_T-K) = 
\left\{ \begin{array}{ll} X_T-K, & \text{ if } X_T>K, \\ 0, & \text{ if } X_T\le K. \end{array}\right.$$

\item  Black-Sholes-Merton 是如何定义欧式看涨期权的价格的？

\item  解释欧式看涨期权的价格的下述模型，
\begin{eqnarray*}
V_t &=& a_tX_t +b_t\beta_t = u(T-t,X_t), \,\,\, t\in [0,T], \\
V_T &=& u(0,X_T)=(X_T-K)^+.
\end{eqnarray*}

\item  解释欧式看涨期权的价格的 Black-Scholes 公式，
$$V_0=u(T,X_0)=X_0\Phi(g(T,X_0)) - Ke^{-rT} \Phi (h(T,X_0)), $$
其中 $g(t,x)$, $h(t,x)$ 和 $\Phi(x)$ 分别定义为
\begin{eqnarray*}
g(t,x) &=& \frac{\ln (x/K) + (r+0.5\sigma^2)t}{\sigma\sqrt{t}}, \\
h(t,x) &=& \frac{\ln (x/K) + (r-0.5\sigma^2)t}{\sigma\sqrt{t}}, \\
\Phi(x) &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{y^2}{2}}dy.
\end{eqnarray*}

\item  设 $B$ 是标准布朗运动。在什么情况下，下述定义的 $\tilde{B}$ 成为了标准布朗运动？
$$\tilde{B}_t = B_t + qt.$$





\end{enumerate}



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\end{document}

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